What is the next term of the sequence $1, \sqrt{4}, 3, \sqrt{64} ,15, \sqrt{1024} ?$

প্রদত্ত ধারাটি হলো:

1, $\sqrt{4},3,\sqrt{64} ,15, \sqrt{1024}$

প্রথমে বর্গমূলগুলো সরলীকরণ করা যাক:

• $\sqrt{4}=2$
• $\sqrt{64}=8$
• $\sqrt{1024}=32$

সুতরাং, ধারাটি দাঁড়ায়:

1, 2, 3, 8, 15, 32, ?

এখানে ধারাটির পদগুলোর মধ্যে একটি সুনির্দিষ্ট এবং ধারাবাহিক প্যাটার্ন রয়েছে। প্রতিটি পদকে \(2\)-এর ঘাত (power of 2) আকারে প্রকাশ করলে প্যাটার্নটি স্পষ্ট হয়:

• ১ম পদ (\(T_1\)): \(1 = 2^1 - 1\)

• ২য় পদ (\(T_2\)): \(2 = 2^1\)

• ৩য় পদ (\(T_3\)): \(3 = 2^2 - 1\)

• ৪র্থ পদ (\(T_4\)): \(8 = 2^3\)

• ৫ম পদ (\(T_5\)): \(15 = 2^4 - 1\)

• ৬ষ্ঠ পদ (\(T_6\)): \(32 = 2^5\)

প্যাটার্ন বিশ্লেষণ:

১. অপারেশন প্যাটার্ন: ধারাটির বিজোড় স্থানের পদগুলো (\(T_1, T_3, T_5\)) \(2^n - 1\) আকারে এবং জোড় স্থানের পদগুলো (\(T_2, T_4, T_6\)) সরাসরি \(2^n\) আকারে আছে। অর্থাৎ, পর্যায়ক্রমিকভাবে একবার \(-1\) হচ্ছে এবং পরের বার কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না।

২. ঘাতের (Power) প্যাটার্ন: পদগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়: 1, 1, 2, 3, 4, 5। এখানে ২য় পদ থেকে শুরু করে প্রতিটি পদের ঘাত ধারাবাহিকভাবে ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

পরবর্তী পদ নির্ণয়:

প্রদত্ত ধারার পরবর্তী পদটি হলো ৭ম পদ (\(T_7\))। যেহেতু ৭ একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই এটি বিজোড় স্থানের পদের নিয়ম মেনে চলবে।

১. ঘাতের প্যাটার্ন (1, 1, 2, 3, 4, 5, ...) অনুযায়ী ৭ম পদের ঘাত হবে \(5 + 1 = 6\)।

২. বিজোড় পদের নিয়ম অনুযায়ী পদটির গঠন হবে \(2^n - 1\)।

তাহলে, ৭ম পদটি হবে: \(2^6 - 1\)।

আমরা জানি, \(2^6 = 64\)

অতএব, ৭ম পদটি হবে \(64 - 1 = 63\)।

সঠিক উত্তর হলো 63।